拜托,面试别再让我数1了!!!

来自:架构师之路(微信号:road5858),作者:58沈剑

面试中,除了TopK,是否被问过:求一个正整数的二进制表示包含多少个1?

画外音:姊妹篇《拜托,面试别再问我TopK了!!!》。


例如:

uint32_t i=58585858;

i的二进制表示是:

0000 0011 0111 1101 1111 0011 0000 0010

于是,i的二进制表示包含15个1。

 

到底有几种方法,这些思路里蕴含的优化思路究竟是怎么样的,今天和大家聊一聊。

 

一、位移法

思路:既然输入n是uint32,每次取n的最低位,判断是不是1,位移32次,循环判断即可。

 

伪代码

do{

    if ((n&1)==1){

       result++;

    }

    n>>= 1;

    i++;

} while(i<32);

 

分析:不管n的二进制表示里包含多少个1,都需要循环计算32次,比较耗时。有没有可能,每次消除掉一个1,这样来降低计算次数呢?

 

二、求与法

观察一下nn-1这两个数的二进制表示:

  • 最末位一个1会变成0

  • 最末位一个1之后的0会全部变成1

  • 其他位相同

 

栗子

           x = 1011 0000

         x-1= 1010 1111

x & (x-1) = 1010 0000

 

于是,n&(n-1)这个操作,可以起到“消除最后一个1”的功效。

 

思路:逐步通过n&(n-1),来消除n末尾的1,消除了多少次,就有多少个1。

 

伪代码

while(n){

   result++;

   n&=(n-1);

}

 

分析:这个方法,n的二进制表示有多少个1,就会计算多少次。总的来说,n的长度是32bit,如果n的值选取完全随机,平均期望由16个1构成,平均下来16次,节省一半的计算量。

画外音:校招时,我问过这样的面试题,“如何快速判断一个正整数是不是2的x次幂”,巧妙解法是

return !(n&(n-1));

即,如果n是2的x次幂,二进制表示只有一个1。

 

三、查表法

空间换时间,是算法优化中最常见的手段,如果有相对充裕的内存,可以有更快的算法。

 

思路:一个uint32的正整数n,一旦n的值确定,n的二进制表示中包含多少个1也就确定了,理论上无需重新计算:

1的二进制表示中包含1个1

2的二进制表示中包含1个1

3的二进制表示中包含2个1

58585858的二进制表示中包含15个1

...

 

提前计算好结果数组:

result[1]=1;

result[2]=1;

result[3]=2;

result[58585858]=15;

 

伪代码

return result[n];

 

查表法的好处是,时间复杂度为O(1),潜在的问题是,需要很大的内存。

 

内存分析

假如被分析的整数是uint32,打表数组需要记录2^32个正整数的结果。

n的二进制表示最多包含32个1,存储结果的计数,使用5个bit即可。

故,共需要内存2^32 * 5bit = 2.5GB。

画外音:5个bit,能表示00000-11111这32个数。帮忙看下,算错了没有,上一篇文章bit和Byte算错了8倍。

 

四、二次查表法

查表法,非常快,只查询一次,但消耗内存太大,在工程中几乎不被使用。

 

算法设计,本身是一个时间复杂度与空间复杂度的折衷,增加计算次数,往往能够减少存储空间。

 

思路

(1)把uint32的正整数n,分解为低16位正整数n1,和高16正整数n2;

(2)n1查一次表,其二进制表示包含a个1;

(3)n2查一次表,其二进制表示包含b个1;

(4)则,n的二进制表示包含a+b个1;

 

伪代码

uint16 n1 = n & 0xFFFF;

uint16 n2 = (n>>16) & 0xFFFF;

return  result[n1]+result[n2];

 

问题来了:增加了一倍的计算量(1次查表变2次查表),内存空间是不是对应减少一半呢?

 

内存分析

被分析的整数变成uint16,打表数组需要记录2^16个正整数的结果。

n1和n2的二进制表示最多包含16个1,存储结果的计数,使用4个bit即可。

故,共需要内存2^16 * 4bit = 32KB。

画外音:帮忙看下,算错了没有。

 

好神奇!!!

计算量多了1次(1倍),内存占用量却由2.5G降到了32K(1万多倍),是不是很有意思?

 

五、总结

数1,不难;但其思路有优化过程,并不简单:

(1)位移法,32次计算;

(2)n&(n-1),能消除一个1,平均16次计算;

(3)查表法,1次查表,2.5G内存;

(4)二次查表法,2次查表,32K内存;

 

知其然,知其所以然

思路比结论重要。

希望大家对“数1”有新的认识,谢

 

作业题:升级为4次查表,需要使用多少内存呢?

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